Нахождение оптимальных условий синтеза

Дадим геометрическую интерпретацию уравнению (2). При фиксированных значениях f(x ,y) = const (линии равного выхода) получаем уравнения для различно ориентированных относительно осей х. и у искаженных гипербол. Следовательно, в пространстве это могут быть - гиперболический цилиндр (стационарное возвышение), либо гиперболический параболоид (седловидная поверхность), либо однополостный гиперболоид /9/.

Уравнение (2) в принципе не описывает поверхность типа параболоида или двухполостного гиперболоида, для этого в уравнении должны присутствовать новые члены вида ех2 + fу2, которые в дополнении к уравнению (2) для линий равного выхода могут описывать семейство эллипсов, смещенных и разноориентированных относительно начала координат, а в пространстве описывают параболоид или двухполостный гиперболоид. Но именно параболоид или двухполостный гиперболоид (“шапочка”) наиболее адекватно описывает поверхность отклика вблизи максимума. Следовательно, ДПФЭ - достаточно грубая модель, которую следует воспринимать в большей степени как информацию к размышлению, а не как однозначное и не подлежащее сомнению руководство к действию.

Современные достижения прикладной математики, наличие персональных компьютеров и разнообразных доступных прикладных программ устраняют вычислительные проблемы, но остаются принципиальные проблемы решения системы линейных уравнений с неточными коэффициентами, так называемых плохо обусловленных систем (ПОСЛУ), которые относятся к некорректно поставленным задачам /10,11/.

ПОСЛУ - такая система, при решении которой с конечной (не важно какой) точностью, появляются ложные решения, зависящие также от последовательности выбора уравнений из системы при решении методом подстановки /11/. Появление ложных решений связано с тем, что компьютер (калькулятор) производит арифметические действия с конечной (не важно, какой) точностью и в процессе вычислений накапливаются ошибки округления /10,11/. Другой источник неустойчивости решения ПОСЛУ - приближенные значения коэффициентов при переменных как эмпирических значений /11/. Один из путей регуляризации некорректно поставленных задач - проверка вычисленных корней подстановкой /10/. Поэтому при использовании программ для ПК следует отдать предпочтение тем программам, в которых при решении ПОСЛУ предусмотрены автоматизированный перебор уравнений и подпрограмму по автоматической проверке полученных решений подстановкой (проверка на обусловленность). Не отрицается и интуитивный путь выбора истинного решения из нескольких, предлагаемых компьютером /10/, полученных в результате различной последовательности выбора уравнений.

Кроме того, ПОСЛУ с неточными коэффициентами сама по себе является некорректно поставленной задачей, т.е. небольшое изменение начальных условий приводит к значительному изменению решения, полученные решения неустойчивы. Рассмотрим пример, описанный в литературе /13/.

СЛУ (1)

х+10у = 11,1

х+101у=111 решение системы (1) - х=11,1; у=0.

СЛУ (2)

х+10у=11

х+101у=111 решение системы (2) - х=1; у=1.

Различия свободных членов на 1% в первых уравнениях систем (1) и (2) приводят к сильному (более 100%) изменению решений и при этом каждое решение для своей системы является единственным и истинным. Увеличение числа уравнений и неизвестных увеличивает неустойчивость возможных решений.

Кроме этого, если в уравнении (2) d=0, то получится переопределенная СЛУ, в которой число уравнений больше числа неизвестных.

Дадим геометрическую интерпретацию. Как известно /9/, система двух линейных уравнений с двумя неизвестными может иметь единственное решение, геометрический смысл которого - точка пересечения двух прямых 1 и 2 (рис. 5).

Рисунок 5. Геометрическая интерпретация возможных решений переопределенной системы линейных уравнений

В переопределенной СЛУ третье уравнение описывает третью прямую -3 (рис. 2), которая может совпадать с одной из двух первых, либо проходить через точку пересечения первых двух, но может проходить совсем в стороне - прямая 4 (рис. 2).

При наличии ошибки, с которой задаются управляемые переменные х. и у, а также ошибки измерения ВП, вокруг каждой прямой будет некий коридор ошибок. Учитывая приблизительный характер самой модели, можно в качестве единственного решения выбрать точку, равноудаленную ото всех прямых (точка А). Но пока эта часть полностью принадлежит человеку и подобных программ для ПК еще нет.

Для ПФЭ 24 при использовании модели типа (2) получим 4 переменных для 16 уравнений, и нахождение единственного решения приобретает не столько математический, сколько философский смысл. Прикладная математика обходит эту сложность тем, что программы для решения СЛУ на основе ДПФЭ решают расширенную систему. Например, для 4-х переменных и 16-ти экспериментов это будет система с 15-ю неизвестными, расставленными по плану табл. 6. Одну и ту же систему компьютер будет решать для количества переменных от 4 до 15-ти включительно, автоматически вводя фиктивные переменные сверх выбранных экспериментатором при работе с программами, в которых предусмотрено специализированное окно для расчетов по плану ДПФЭ. Искусственно введенные столбцы описывают взаимодействие факторов, каждая линейная комбинация описывает свой набор взаимодействующих предшественников, подобно столбцам, начиная с №5 таб. 6.